| >> 首页 >> 保险精算论文 >> 保险责任恢复与保险责任递减给付金额的期望赔付率比较 |
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当保险标的发生全部损失时，保险人给付保险金后，保险单收回注销；当保险标的发生部分损失时，保险人给付保险金后，原保险金额减去已给付金额，往往以余额作为赔付后保险单的保险金额。这种做法称为保险责任递减给付金额。另一方面，考虑到保险标的的修复，保险标的发生部分损失时保险责任在赔付后可恢复到原来的保险金额。这种做法称为保险责任恢复。本文推导出保险责任递减给付金额和保险责任恢复两种情况下单份保单的期望赔付率公式，并对两种不同情况下单份保单期望赔付率进行比较。这一结果对非寿险精算具有较好的理论和应用价值。 一、多次索赔情况下赔付率与损失率的关系 设某种类型保单，它的每次事故损失率为X，而每份保险单在有效年度内发生索赔的次数为Y，每次事故赔付金额与保险价值之比为赔付率，记为Z，X、Y、Z为随机变量。记A为投保比例，即A=原保额/保险价值，则有如下结论： 结论1：在保险责任恢复的情况下： Z=AX 且每次索赔赔偿金额=Z×保险标的价值 结论2：在保险责任递减给付金额的情况下，记Xi为第i次索赔时的损失率，Zi为第i次索赔的赔付率，并假定每次索赔后保险价值恢复到原来的水平，则： Z1=AX1 Z2=AX2（1-X1） Z3=AX3（1-X1）（1-X2） ZK=AXK（1-X1）（1-X2）…（1-XK-1）（k=2,3…） 证明：结论1很容易得出，证明从略。结论2可由以下推导得出： Z1=AX1显而易见。 第2次索赔时： 保险金额=原保险金额（1-X1） ∴Z2=保险金额×X2/保险价值 =原保险金额×（1-X1）×X2/保险价值 =AX2（1-X1） 第3次索赔时： 保险金额=第2次索赔时保险金额 - 第2次赔付金额 =原保险金额×（1-X1）-原保险金额×（1-X1）X2 =原保险金额×（1-X1）（1-X2） ∴Z3=AX3（1-X1）（1-X2） 依此类推可以证明第k次索赔赔付率公式成立。 在上述结论的基础上，我们可以得出多次索赔的情况下期望赔付率公式。 假定每次事故损失率Xi独立同分布，期望值为EX，A为投保比例，则有如下结论： 结论3：在保险责任恢复的情况下，并假定每次部分损失索赔后保险价值恢复到原来的水平，Y为每份保单有效年度内的索赔次数，则： Y=K时，K次索赔总期望赔付率=KAEX（K=1,2,…） 结论4：在保险责任递减给付金额的情况下，并假定每次部分损失索赔后保险价值恢复到原来的水平，Y为每份保险单有效年度内的索赔次数，则： Y=1时，1次索赔期望赔付率=AEX Y=2时，2次索赔总期望赔付率=A[2EX-（EX）2] Y=3时，3次索赔总期望赔付率=A[3EX-3（EX）2+（EX）3] Y=4时，4次索赔总期望赔付率=A[4EX-6（EX）2+4（EX）3 -（EX）4] Y=K时，K次索赔总期望赔付率=A[1+（1-EX）K]（K=1，2，……） 证明：由结论1知：在保险责任恢复的情况下，Zi=AXi k ∴Y=K时，K次索赔总赔付率=A ∑Xi i=1 k ∴K次索赔总期望赔付率= A ∑EXi = KAEX i=1 ∴结论3成立。 由结论2知：在保险责任递减给付金额的情况下，Z1=AX1 ZK=AXK（1-X1）…（1-XK-1）（K=2，3……） ∵Y=1时，1次索赔总赔付率=AX1 ∴1次索赔总期望赔付率=AEX Y=K时（K=2，3……），K次索赔总赔付率=A[X1+X2（1-X1）+…+XK（1-X1）（1-X2）…（1-XK-1）] K次索赔总期望赔付率=A[EX+EX（1-EX）+…+EX（1-EX）K-1] =A·[1-（1-EX）K] 在已知索赔次数Y的概率分布的情况下，我们可以得出如下结论： 设Y=K的概率为PK（K=0，1，2，…），投保比例为A，每次事故损失率Xi独立同分布，期望值为EX，每份保单的期望赔付率为EZ，并假定每次部分损失索赔后保险价值恢复到原来的水平，则有如下结论： 结论5：在保险责任恢复的情况下： ∞ EZ=AEX·∑ KPK k=1 结论6：在保险责任递减给付金额的情况下： ∞ EZ=A ∑ PK[1-(1-EX)K] k=1 证明：结论5、结论6可由条件期望公式EZ=∑E(ZY=K)P(Y=K)得出 k 结论5、结论6给出了在多次索赔情况下每份保险单期望赔付率与期望损失率之间的关系，每份保险单的期望赔付率是确定保险单纯费率的依据。下面通过实例进行解释并比较保险责任恢复与保险责任递减给付金额两种不同情况下的费率差异。 二、实例计算 设某种类型的保险单，它的单个索赔损失率具有如表1所描述的分布，而它的每份保险单在有效年度内发生索赔的次数具有表2所描述的分布。并假定每次索赔损失率独立同分布。 表1 单个索赔损失率分布
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